隐式求解耦合颂的系统时，出现了意外的结果。

Question

旨在求解这个耦合微分方程系统。

frac{dx}{dt} = -y元

$frac{dy}{dt} = x $。

按照下面的隐式演化方案。

$$ y(t_{n+1}) = y(t_{n}) + \frac{/Delta t}{2}(x_{old}(t_{n+1}) + x(t_{n})) $$$

$$ x(t_{n+1}) = x(t_{n}) - \frac{/Delta t}{2}(y_{old}(t_{n+1}) + y(t_{n})) $$$

我的代码如下

# coupled ODE's to be solved 
def f(x,y):
    return -y
def g(x,y):
    return x

#implicit evolution scheme 

def Imp(f,g,x0,y0, tend,N):

    t = np.linspace(0.0, tend, N+1)
    dt = 0.1 

    x1 = np.zeros((N+1, ))
    y2 = np.zeros((N+1, ))
    xold = np.zeros((N+1, ))
    yold = np.zeros((N+1, ))
    xxold = np.zeros((N+1, ))
    yyold = np.zeros((N+1, ))

    x1[0] = x0 
    y2[0] = y0
    for n in range(0,N):
        xold = f(t[n+1], x1[n])
        xxold = f(t[n+1], x1[n+1] + xold)
        yold = g(t[n], y2[n])
        yyold = g(t[n], y2[n+1]+yold)


        y2[n+1] = y2[n] + (x1[n]+xxold)*0.5*dt
        x1[n+1] = x1[n] - (y2[n]+ yyold)*0.5*dt

    return t,x1,y2

t, y1,y2 = Imp(f,g,np.sqrt(2),0.0, 100, 1000)
plt.plot(y1,y2) 

我期待着输出（相位图）是一个完整的圆，如文献报道，虽然我得到了一个螺旋，这是没有想到的（我将嵌入的图片，虽然我的低信誉不允许它，请运行看到的输出）。

有谁知道我如何能修复我的Imp例程？ 谢谢。

Answer 1

请再研究一下隐式欧拉法或梯形法是如何工作的，对于标量方程和系统。然后仔细想一想你的函数的接口，在这些接口上有一个 x, y 以及为什么没有 t 在声明中 f 和 g.

然而，从你的描述来看，你实现的不是隐式方法，而是显式二阶Heun方法。在隐式方法中，你会解隐式方程，直到达到足够的 "数值 "收敛。

显式的Heun循环可以是这样的

    for n in range(0,N):
        xold = x[n] + f(x[n],y[n])*dt
        yold = y[n] + g(x[n],y[n])*dt
        xnew = x[n] + f(xold, yold)*dt
        ynew = x[n] + g(xold, yold)*dt
        x[n+1] = 0.5*(xold+xnew)
        y[n+1] = 0.5*(yold+ynew)

但正如所说，这是一种有固定步数的显式方法，而不是采用隐式方程解策略的隐式方法。