求解矩阵的最小二乘而不是向量

Question

问题是找到 Z 使得 epsilon(E)（方程 21）最小化。

Z 是一个 MxN 矩阵，这就是我们需要找到的。 Zx和Zy也是已知的MxN矩阵。 Dx和Dy是进行数值微分的NxN矩阵（见图中红圈矩阵），因此也称为已知矩阵。 F 表示“Fobrenius 范数”或“entry-wise 范数”。

如何解决这个问题？我知道如何解决向量的最小二乘问题，但现在它是矩阵形式，我陷入困境。
谢谢

Answer 1

这里的技巧是使用克罗内克产品：

$$ 开始{对齐*} {\左|旧符号{D}{y} 旧符号{Z} - \hat{ 旧符号{Z}}{y} 右|}{F}^{2} & 右箭头{\左| \left( oldsymbol{I} \otimes oldsymbol{D}{y} 右）oldsymbol{z} - \hat{oldsymbol{z}}{y} 右|}{2}^{2} = {\左| \hat{ 旧符号{D}{y}} 旧符号{z} - \hat{ 旧符号{z}}{y} 右|}{2}^{2} \ {\左|旧符号{Z} 旧符号{D}{x}^{T} - \hat{ 旧符号{Z}}{x} 右|}{F}^{2} & 右箭头{\左| \left( oldsymbol{D}{x} \otimes oldsymbol{I} 右）oldsymbol{z} - \hat{oldsymbol{z}}{x} 右|}{2}^{2} = {\左| \hat{ 旧符号{D}{x}} 旧符号{z} - \hat{ 旧符号{z}}{x} 右|}{2}^{2} nd{对齐*} $$

这相当于解决：

$$ {\左|旧符号{D} 旧符号{z} - \hat{ 旧符号{z}} 右|}_{2}^{2} $$

其中矩阵 $oldsymbol{D}$ 是水平堆叠矩阵，$\hat{ oldsymbol{z}$ 是垂直堆叠。

实现应利用相关矩阵的稀疏属性，因此计算方面与原始公式一样高效。