矩阵尺寸在反向传播中不匹配

Question

在这里，我试图用一个隐藏层来实现一个神经网络来对两个训练样例进行分类。该网络利用S形激活功能。

层的尺寸和重量如下：

X : 2X4
w1 : 2X3
l1 : 4X3
w2 : 2X4
Y : 2X3

我在背向传播中遇到了矩阵尺寸不正确的问题。这段代码：

import numpy as np

M = 2
learning_rate = 0.0001

X_train = np.asarray([[1,1,1,1] , [0,0,0,0]])
Y_train = np.asarray([[1,1,1] , [0,0,0]])

X_trainT = X_train.T
Y_trainT = Y_train.T

A2_sig = 0;
A1_sig = 0;

def sigmoid(z):
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))  
    return s

def forwardProp() : 

    global A2_sig, A1_sig;

    w1=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(2, 2))
    b1=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    w1 = np.concatenate((w1 , b1) , axis=1)
    A1_dot = np.dot(X_trainT , w1)
    A1_sig = sigmoid(A1_dot).T

    w2=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(4, 1))
    b2=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(4, 1))
    w2 = np.concatenate((w2 , b2) , axis=1)
    A2_dot = np.dot(A1_sig, w2)
    A2_sig = sigmoid(A2_dot)

def backProp() : 

    global A2_sig;
    global A1_sig;

    error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT).T, A1_sig / M)
    print(A1_sig)
    print(error1)
    error2 = A1_sig.T - error1

forwardProp()
backProp()

返回错误：

ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-605-5aa61e60051c> in <module>()
     45 
     46 forwardProp()
---> 47 backProp()
     48 
     49 # dw2 = np.dot((Y_trainT - A2_sig))

<ipython-input-605-5aa61e60051c> in backProp()
     42     print(A1_sig)
     43     print(error1)
---> 44     error2 = A1_sig.T - error1
     45 
     46 forwardProp()

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (2,4) 

如何计算前一层的错误？

更新：

import numpy as np

M = 2
learning_rate = 0.0001

X_train = np.asarray([[1,1,1,1] , [0,0,0,0]])
Y_train = np.asarray([[1,1,1] , [0,0,0]])

X_trainT = X_train.T
Y_trainT = Y_train.T

A2_sig = 0;
A1_sig = 0;

def sigmoid(z):
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))  
    return s


A1_sig = 0;
A2_sig = 0;

def forwardProp() : 

    global A2_sig, A1_sig;

    w1=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(4, 2))
    b1=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    A1_dot = np.dot(X_train , w1) + b1
    A1_sig = sigmoid(A1_dot).T

    w2=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(2, 3))
    b2=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    A2_dot = np.dot(A1_dot , w2) + b2
    A2_sig = sigmoid(A2_dot)

    return(A2_sig)

def backProp() : 
    global A2_sig;
    global A1_sig;

    error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
    error2 = error1 - A1_sig

    return(error1)

print(forwardProp())
print(backProp())

返回错误：

ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-664-25e99255981f> in <module>()
     47 
     48 print(forwardProp())
---> 49 print(backProp())

<ipython-input-664-25e99255981f> in backProp()
     42 
     43     error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
---> 44     error2 = error1.T - A1_sig
     45 
     46     return(error1)

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,2) 

错误设置了矩阵尺寸？

Answer 1

代码审查

我检查了你的最新版本并注意到以下错误：

• （次要）在前锋传球中，A1_sig从未使用过，也许这只是一个错字。
• （专业）在向后传球中，我不确定你打算用什么作为损失函数。从代码看起来像L2损失： error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M) 关键的表达是这样的：A2_sig - Y_trainT.T（虽然也许我只是不明白你的想法）。 但是，你提到你正在进行多标签分类，很可能是二进制分类。在这种情况下，L2损失是一个糟糕的选择（如果你感兴趣，请参阅this post）。相反，使用逻辑回归损失，a.k.a。交叉熵。在你的情况下，它是二进制的。
• （关键）在向后传递中，你跳过了sigmoid层。以下行获取损失错误并将其传递给线性层： error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M) ......正向通道在线性层之后经过S形激活（这是正确的）。在这一点上，error1没有任何意义，它的尺寸无关紧要。

解

我不喜欢你的变量命名，很容易混淆。所以我改变了它并重新组织了一些代码。这是融合的NN：

import numpy as np

def sigmoid(z):
  return 1 / (1 + np.exp(-z))

X_train = np.asarray([[1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0]]).T
Y_train = np.asarray([[1, 1, 1], [0, 0, 0]]).T

hidden_size = 2
output_size = 3
learning_rate = 0.1

w1 = np.random.randn(hidden_size, 4) * 0.1
b1 = np.zeros((hidden_size, 1))
w2 = np.random.randn(output_size, hidden_size) * 0.1
b2 = np.zeros((output_size, 1))

for i in xrange(50):
  # forward pass

  Z1 = np.dot(w1, X_train) + b1
  A1 = sigmoid(Z1)

  Z2 = np.dot(w2, A1) + b2
  A2 = sigmoid(Z2)

  cost = -np.mean(Y_train * np.log(A2) + (1 - Y_train) * np.log(1 - A2))
  print(cost)

  # backward pass

  dA2 = (A2 - Y_train) / (A2 * (1 - A2))

  dZ2 = np.multiply(dA2, A2 * (1 - A2))
  dw2 = np.dot(dZ2, A1.T)
  db2 = np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)

  dA1 = np.dot(w2.T, dZ2)
  dZ1 = np.multiply(dA1, A1 * (1 - A1))
  dw1 = np.dot(dZ1, X_train.T)
  db1 = np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

  w1 = w1 - learning_rate * dw1
  w2 = w2 - learning_rate * dw2
  b1 = b1 - learning_rate * db1
  b2 = b2 - learning_rate * db2

Answer 2

你的第一个权重矩阵，w1，应该是(n_features, layer_1_size)的形状，所以当你乘以X的(m_examples, n_features)形状的w1时，你得到一个(m_examples, layer_1_size)矩阵。这将通过激活第1层然后进入第2层，第2层应该具有形状为(layer_1_size, output_size)的权重矩阵，其中output_size=3，因为您正在为3个类别进行多标签分类。正如您所看到的，关键是将每个图层的输入转换为适合该图层中神经元数量的形状，换句话说，图层的每个输入都必须输入该图层中的每个神经元。

我不会像你一样对你的图层输入进行转置，我会像所描述的那样塑造权重矩阵，这样你就可以计算np.dot(X, w1)等。

看起来你还没有正确处理你的偏见。当我们计算Z = np.dot(w1,X) + b1时，应该广播b1，以便将它添加到w1和X产品的每一列。如果你将b1附加到你的体重矩阵中，就不会发生这种情况。相反，您应该在输入矩阵中添加一列ones，在权重矩阵中添加一行，因此偏差项位于权重矩阵的那一行，输入中的ones确保它们随处可见。在此设置中，您不需要单独的b1，b2术语。

X_train = np.c_(X_train, np.ones(m_examples))

并记得再向你的重量添加一行，所以w1应该有形状(n_features+1, layer_1_size)。

反向传播的更新：

反向传播的目标是根据权重和偏差计算误差函数的梯度，并使用每个结果更新每个权重矩阵和每个偏差向量。

因此，您需要dE/dw2，dE/db2，dE/dw1和dE/db1，以便您可以应用更新：

w2 <- w2 - learning_rate * dE/dw2
b2 <- b2 - learning_rate * dE/db2
w1 <- w1 - learning_rate * dE/dw1
b1 <- b1 - learning_rate * dE/db1

由于您正在进行多标记分类，因此您应该使用二进制交叉熵丢失：

您可以使用链规则计算dE/dw2：

dE/dw2 = (dE/dA2) * (dA/dZ2) * (dZ2/dw2)

我使用Z为你的A2_dot，因为激活尚未应用，我正在使用A2为你的A2_sig。

有关使用乙状结肠激活的交叉熵损失的详细推导，请参阅Notes on Backpropagation [pdf]。然而，这给出了逐点推导，而我们正在寻找矢量化实现，因此您需要做一些工作来找出矩阵的正确布局。遗憾的是，也没有明确的偏向量。

你对error1的表达看起来是正确的，但我会称之为dw2，我只会使用Y_train而不是两次转置：

dw2 = (1/m) * np.dot((A2 - Y_train).T , A1)

你还需要db2应该是：

db2 = (1/m) * np.sum(A2 - Y_train, axis=1, keepdims=True)

你将不得不进一步应用链规则来获得dw1和db1，我会留给你，但是在Neural Networks and Deep Learning Coursera课程的第3周有一个很好的推导。

除了我认为你不应该在你的backprop代码中进行计算之外，我不能说你得到错误的那一行，所以维度不匹配是有意义的。您可能正在考虑输出处的渐变，但我想不出任何类似的表达式涉及A1在此网络中的backprop。

This article在numpy中有一个非常好的一个隐藏层神经网络的实现。它确实在输出端使用softmax，但在隐藏层中有sigmoid激活，否则计算的差异很小。它应该可以帮助你计算隐藏层的dw1和db1。具体来说，请在标题为“实践中的神经网络”一节中查看delta1的表达式。

将他们的计算转换为我们正在使用的符号，并在输出处使用sigmoid而不是softmax，它应该如下所示：

dZ2 = A2 - Y_train
dZ1 = np.dot(dZ2, w2.T) * A1 * (1 - A1) # element-wise product

dw2 = (1/m) * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = (1/m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)

dw1 = (1/m) * np.dot(dZ1, X_train.T)
db1 = (1/m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)