查找线性系统中的子系统

Question

给定一个线性系统

M x = 0

，其中

M

是一个 m, n 矩阵，

x

是一个具有 n 个条目的向量，有多种方法可以找到

x

的非平凡解，例如奇异值分解（SVD） ）。就我而言，

M

可能由多个独立的子系统组成，例如

M = [[M1, 0 ], [0，M2]]

在这种情况下，

x

有多个解，因为我们可以找到第一个系统的解，并将第二个系统的解设置为平凡的解，反之亦然。因此，我想找到一种方法，给定矩阵

M

，分离独立系统，即找到所有“子矩阵”

M_j

是否有一种常见的方法可以通过编程来执行此操作，例如使用QR分解？

Answer 1

假设 M = {M1, M2, Mn}，其中每个 Mi 代表 M 的第 i 列，并且是 m 个实数元素的向量。假设 x = {x1, x2, ..., xm} 是 m 个实数元素的向量。假设 y = {y1, y2, ..., yn} 是由 n 个实数元素组成的已知向量。那么如果所有 Mi 都是线性独立的，对于给定的非零向量 y，方程

Mx = y

有唯一解x。如果并非所有 Mi 都是线性独立的，则要么无解，要么有无穷多个解。如果 n > m，则 Mi 不一定都是线性独立的。

可以选择任何xi并重新排列以获得

M'x' = y - xi*Mi

哪里

M' = {M1, ..., M(i-1), M(i+1), ..., Mn}

x' = {x1, ..., x(i-1), x(i+1), ..., xn}

然后尝试求解 x'。重复此操作，直到左侧矩阵与给定向量 x 元素的选定值的唯一解线性相关。然后，您的子矩阵将是剩余线性独立矩阵的列的任何分区。