numpy：计算softmax函数的导数

Question

我试图用backpropagation在一个简单的3层神经网络中理解MNIST。

输入层有weights和bias。标签是MNIST所以它是10类矢量。

第二层是linear tranform。第三层是softmax activation以获得输出作为概率。

Backpropagation计算每一步的导数并称之为梯度。

以前的图层将global或previous渐变附加到local gradient。我无法计算local gradient的softmax

在线的几个资源通过softmax及其衍生物的解释，甚至给出了softmax本身的代码样本

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x)
    return exps / np.sum(exps)

关于i = j和i != j时的衍生物进行了解释。这是一个简单的代码片段，我想出来并希望验证我的理解：

def softmax(self, x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x)
    return exps / np.sum(exps)

def forward(self):
    # self.input is a vector of length 10
    # and is the output of 
    # (w * x) + b
    self.value = self.softmax(self.input)

def backward(self):
    for i in range(len(self.value)):
        for j in range(len(self.input)):
            if i == j:
                self.gradient[i] = self.value[i] * (1-self.input[i))
            else: 
                 self.gradient[i] = -self.value[i]*self.input[j]

然后self.gradient是local gradient，它是一个向量。它是否正确？有没有更好的方法来写这个？

Answer 1

我假设你有一个带有W1的3层NN，b1用于从输入层到隐藏层和W2的线性变换，b2与从隐藏层到输出层的线性变换相关联。 Z1和Z2是隐藏层和输出层的输入向量。 a1和a2表示隐藏层和输出层的输出。 a2是您的预测输出。 delta3和delta2是错误（反向传播），您可以看到损失函数相对于模型参数的渐变。

这是3层NN（输入层，只有一个隐藏层和一个输出层）的一般场景。您可以按照上述步骤计算易于计算的渐变！由于这篇文章的另一个答案已经指出了你的代码中的问题，我不是重复相同的。

Answer 2

正如我所说，你有n^2偏导数。

如果你做数学，你会发现dSM[i]/dx[k]是SM[i] * (dx[i]/dx[k] - SM[i])所以你应该：

if i == j:
    self.gradient[i,j] = self.value[i] * (1-self.value[i])
else: 
    self.gradient[i,j] = -self.value[i] * self.value[j]

代替

if i == j:
    self.gradient[i] = self.value[i] * (1-self.input[i])
else: 
     self.gradient[i] = -self.value[i]*self.input[j]

顺便说一句，这可以更简洁地计算（向量化）：

SM = self.value.reshape((-1,1))
jac = np.diagflat(self.value) - np.dot(SM, SM.T)

Answer 3

np.exp不稳定，因为它有Inf。所以你应该减去x中的最大值。

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x - x.max())
    return exps / np.sum(exps)

如果x是矩阵，请检查此笔记本中的softmax函数（https://github.com/rickiepark/ml-learn/blob/master/notebooks/5.%20multi-layer%20perceptron.ipynb）