pytorch如何通过argmax进行反推？

Question

我在pytorch中使用渐变下降在质心位置上构建Kmeans，而不是期望最大化。损失是每个点到其最近质心的平方距离的总和。为了确定哪个质心最接近每个点，我使用argmin，这在任何地方都是不可区分的。但是，pytorch仍然可以反向提升并更新权重（质心位置），从而在数据上提供类似的sklearn kmeans性能。

任何想法如何工作，或如何在pytorch中解决这个问题？关于pytorch github的讨论表明argmax是不可区分的：https://github.com/pytorch/pytorch/issues/1339。

下面的示例代码（随机点）：

import numpy as np
import torch

num_pts, batch_size, n_dims, num_clusters, lr = 1000, 100, 200, 20, 1e-5

# generate random points
vector = torch.from_numpy(np.random.rand(num_pts, n_dims)).float()

# randomly pick starting centroids
idx = np.random.choice(num_pts, size=num_clusters)
kmean_centroids = vector[idx][:,None,:] # [num_clusters,1,n_dims]
kmean_centroids = torch.tensor(kmean_centroids, requires_grad=True)

for t in range(4001):
    # get batch
    idx = np.random.choice(num_pts, size=batch_size)
    vector_batch = vector[idx]

    distances = vector_batch - kmean_centroids # [num_clusters, #pts, #dims]
    distances = torch.sum(distances**2, dim=2) # [num_clusters, #pts]

    # argmin
    membership = torch.min(distances, 0)[1] # [#pts]

    # cluster distances
    cluster_loss = 0
    for i in range(num_clusters):
        subset = torch.transpose(distances,0,1)[membership==i]
        if len(subset)!=0: # to prevent NaN
            cluster_loss += torch.sum(subset[:,i])

    cluster_loss.backward()
    print(cluster_loss.item())

    with torch.no_grad():
        kmean_centroids -= lr * kmean_centroids.grad
        kmean_centroids.grad.zero_()

Answer 1

正如alvas在评论中指出的那样，argmax是不可区分的。但是，一旦计算并将每个数据点分配给一个集群，就可以很好地定义相对于这些集群位置的损失导数。这就是你的算法所做的。

它为什么有效？如果你只有一个集群（这样argmax操作无关紧要），你的损失函数将是二次的，数据点的平均值最小。现在有了多个聚类，你可以看到你的损失函数是分段的（在更高维度上认为是体积方向的）二次方 - 对于任何一组质心[C1, C2, C3, ...]，每个数据点被分配给一些质心CN并且损失是局部二次的。这个地方的范围是由所有替代质心[C1', C2', C3', ...]给出的，来自argmax的任务保持不变;在这个区域内，argmax可以被视为常数而不是函数，因此loss的导数是明确定义的。

现在，实际上，你不太可能将argmax视为常数，但你仍然可以将天真的“argmax-is-a-constant”导数视为指向最小值，因为大多数数据点可能确实属于迭代之间的相同集群。一旦你足够接近局部最小值，使点不再改变它们的分配，过程可以收敛到最小。

另一个更理论化的方法是，你正在做一个期望最大化的近似值。通常，您将拥有“计算分配”步骤（由argmax镜像）和“最小化”步骤，该步骤归结为在给定当前分配的情况下找到最小化的聚类中心。最小值由d(loss)/d([C1, C2, ...]) == 0给出，对于二次损失，通过每个簇内的数据点进行分析。在您的实现中，您将使用梯度下降步骤求解相同的等式。实际上，如果您使用二阶（牛顿）更新方案而不是一阶梯度下降，那么您将隐式地再现基线EM方案。

Answer 2

想象一下：

t = torch.tensor([-0.0627,  0.1373,  0.0616, -1.7994,  0.8853, 
                  -0.0656,  1.0034,  0.6974,  -0.2919, -0.0456])
torch.argmax(t).item() # outputs 6

我们增加一些t[0]，δ接近0，这会更新argmax吗？它不会，所以我们一直在处理0渐变。只需忽略此图层，或假设它已冻结。

argmin或其中因变量处于不连续步骤的任何其他函数也是如此。