尝试对利率掉期数据进行PCA分析（多元时间序列）

Question

我有一个数据集，在过去一年中有20种不重叠的不同掉期利率（spot1y，1y1y，2y1y，3y1y，4y1y，5y2y，7y3y，10y2y，12y3y ...）。

我想使用PCA /多元回归并查看残差，以确定曲线上哪些扇区便宜/丰富。有人对此有经验吗？我已经完成了PCA，但是没有时间序列。理想情况下，我希望以美元建模与第一个数字相似的模型。https://plus.credit-suisse.com/rpc4/ravDocView?docid=kv66a7

谢谢！

Answer 1

以下是一些大招可以帮助您回答问题。另外，这是CS的精妙分析：）

让我们成为pythonistas并使用NumPy。您可以将数据集想象为20x261的float数组。开始的第一个地方是creating the array。假设您有一个CSV文件永久存储原始数据。这样，加载数据的第一步就很简单了：

import numpy

x = numpy.loadtxt("path/to/my/file")

对象x是我们的原始时间序列矩阵，我们验证了x.shape == (20, 261)的真实性。下一步是将该数组转换为其协方差矩阵。无论是已经对原始数据进行了处理还是必须进行处理，第一步都是将每个时间序列集中在均值上，例如：

x_centered = x - x.mean(axis=1, keepdims=True)

此步骤的目的是帮助简化任何必要的缩放操作，这是一个非常好的习惯，通常不应该跳过。对x.mean的调用使用参数axis和keepdims来确保每个行（例如spot1yr的时间序列，...）的均值以it's>”为中心。

下一步是对x进行平方和缩放以产生掉期利率协方差数组。对于x之类的二维数组，有两种方法将其平方：一种方法导致261x261数组，另一种方法导致20x20数组。这是我们感兴趣的第二个数组，适用于我们目的的平方程序是：

x_centered_squared = numpy.matmul(x_centered, x_centered.transpose())
然后，根据统计上下文，可以在1/261或1/(261-1)之间进行选择，如下所示：

x_covariance = x_centered_squared * (1/261)
数组x_covariance中有一个条目，说明每个掉期利率如何与自身发生变化，以及如何随其他任何掉期利率发生变化。用线性代数术语来说，它是一个对称算子，它描述了每个掉期利率的利差。

线性代数也

告诉我们，该数组可以分解为与其相关的本征谱，该频谱中的元素为标量向量对或本征值本征向量对。在您共享的分析中，x_covariance的特征值在图表2中作了说明，并说明了百分比差异。要生成类似于展览2的图的数据（您将一直希望将其提供给PCA的读者），您只需将每个特征值除以它们的总和，然后将每个特征值乘以100.0。由于x_covariance的方便属性，一种合适的计算频谱的方法如下：

vals, vects = numpy.linalg.eig(x_covariance)
我们现在可以谈论残差了！这是它们的定义（带有我们的名称空间）：residuals_ij = x_ij − reconstructed_ij; i = 1:20; j = 1:261。因此，对于x中的每个数据，都有一个对应的残差，要找到它们，我们需要恢复reconstructed_ij数组。我们可以逐列进行此操作，对每个x_i进行操作，并更改基础运算符以生成每个reconstructed_i，可以将其视为原始或原始基础的proper subspace

中存在的内容。该分析描述了一种改进的Gram-Schmidt方法，用于计算我们需要的基算符的变化，该方法可以确保此适当子空间的基数[[是正交集。[我们将在方法中做的是取对应于三个最大特征值的特征向量，并将它们转换为三个相互正交的向量x，y，z。在网上研究活跃的discussions和questions，以开发适用于各种实际应用的Gram-Schmidt过程，但为简单起见，让我们手动进行分析：

x = vects[0] - sum(0)
xx = numpy.dot(x, x)


y = vects[1] - sum(
    (numpy.dot(x, vects[1]) / xx) * x
)
yy = numpy.dot(y, y)


z = vects[2] - sum(
    (numpy.dot(x, vects[2]) / xx) * x,
    (numpy.dot(y, vects[2]) / yy) * y
)

在此步骤之前或之后实施规范化是合理的，当然应该从数据中获悉。

现在有了原始数据，我们隐式地假设基础是标准的，我们需要{e1, e2, ..., e20}和{x,y,z}之间的映射，由[]给出]

ch_of_basis = numpy.array([x,y,z]).transpose()

这可用于计算每个reconstructed_i，如下所示：
reconstructed = []
for measurement in x.transpose().tolist():
    reconstructed.append(numpy.dot(ch_of_basis, measurement))

reconstructed = numpy.array(reconstructed).transpose()

然后通过减法得到残差：
residuals = x - reconstructed

显然，该流程可能需要进一步调整，但这是如何计算所有残差的要点。要获取该周期性条形图，请获取residuals中每行的平均值。